klkАктюбинский медицинский колледж

преподаватель математики и информатики

Кулжумурова Лаура Куантаевна

 Методическая разработка открытого урока

 Тема занятия: Тригонометрические функции числового аргумента

 Цели занятия:

Образовательная— ознакомить учащихся с тригонометрическими функциями,

научить учащихся применять  основные формулы тригонометрии при

решении задач, научить находить значения тригонометрических функций,

радианную и градусную меру угла.

Развивающая- развивать математическую речь, математическую логику,

внимание, память, мышление,  кругозор, интерес к выполняемой работе.

Воспитательная- воспитывать трудолюбие, дисциплинированность, чувство

ответственности, добросовестности.

Тип занятия: теоретический

Метод занятия: объяснительно- иллюстративный, частично- поисковый

Время занятия: 90 мин

Место проведения: аудитория

Внутрипредметная связь: тригонометрические функции

Межпредметная связь: геометрия

Оснащение занятия: раздаточный материал, интерактивная доска

Использованная литература: А. Абылкасымова.  Алгебра и начала анализа.10 кл

Учащийся должен знать: основные тригонометрические формулы

 

 

Структурно-логическая схема и хронокарта занятия

 

I  Организационный момент- 3 мин

II Проверка домашнего задания- 10 мин

III Объяснение нового материала- 40 мин

IV Закрепление нового материала- 30 мин

V Подведение итогов занятия- 2 мин

VI Задание на дом-  5 мин

 

Ход занятия

 

I  Организационный момент

А) преподаватель проверяет подготовленность учащихся в аудитории к занятию,

отмечает отсутствующих в журнале

Б) преподаватель дает мотивацию занятия

II Проверка домашнего задания

-Повторение пройденного материала

Устный опрос

1.Сформулируйте определение показательной функции

(Функция вида переменная, называется показательной функцией)

  1. Сформулируйте определение логарифма

(Логарифмом данного числа b по основанию a называется показатель степени х, в которую надо возвести данное основание а, чтобы получить число b)

 

 

 

  1. Перечислите свойства показательной функции:
  2. Область определения функции − вся числовая прямая.
  3. Область значений функции − промежуток
  4. При a> 1 график показательной функции возрастает
  5. При 0 < a< 1 график показательной функции убывает

 

 

 

  1. Перечислите свойства логарифмической функции.

 

1) Область определения функции- множество положительных чисел , т.е.

 

2) Множество значений – множество всех действительных чисел

3) при  функция возрастает,

при    функция убывает;

4) в области определения функция непрерывна

 

 

 

-Рефераты учащихся

 

III Объяснение нового материала

Преподаватель сообщает учащимся тему урока, знакомит учащихся с  целью и

планом занятия

План изложения материала:

-Историческая справка,видео

  1. Радианная мера угла
  2. Основные тригонометрические функции
  3. Таблица значений тригонометрических функций и углов
  4. Основные формулы тригонометрии и их свойства
  5. Вопросы
  6. Задачи

7.Тестовые задания

8.Кроссворд

9.Станция «Окружность»

10.Станция «Таблица»

11.Станция «Формулы»

 

Историческая справка

Это интересно.

Зарождение тригонометрии относится к глубокой древности. Еще задолго до новой эры вавилонские ученые умели предсказывать солнечные и лунные затмения. Это позволяет сделать вывод о том, что им были известны простейшие сведения из тригонометрии. Само название “тригонометрия” греческого происхождения, обозначающее “измерение треугольников”. Одним из основоположников тригонометрии считается древнегреческий астроном Гиппарх, живший во 2 веке до нашей эры. Гиппарх является автором первых тригонометрических таблиц и одним из основоположников астрономии.

.

Тригонометрия в ладони

Значения синусов и косинусов углов “находятся” на вашей ладони. Протяните руку и разведите как можно сильнее пальцы, так как показано на слайде. Сейчас мы измерим углы между вашими пальцами. (Возьмем два прямоугольных треугольника с углами 30°и 45° и приложим вершину нужного угла к бугру Луны на ладони. Бугор Луны находится на пересечении продолжений мизинца и большого пальца. Одну сторону угла совмещаем с мизинцем, а другую сторону — с одним из остальных пальцев)

Смотрите, я прикладываю угол в 30°; оказывается, это угол

— между мизинцем и безымянным пальцем;

— между мизинцем и средним пальцем — 45°;

— между мизинцем и указательным пальцем — 60°;

— между мизинцем и большим пальцем — 90°;

И это у всех людей без исключения.

Если пальцы считать лучами, исходящими из бугра Луны на ладони, то, если совместить (сжать) пальцы с мизинцем, угол между лучами будет равен 0°, то есть можно считать, что направление мизинца соответствует началу отсчета углов, то есть 0°, а поэтому введем нумерацию пальцев:

№0 — Мизинец

№1 — Безымянный

№2 — Средний

№3 -Указательный

№4 — Большой

№0 Мизинец 0°

№1 Безымянный 30°

№2 Средний 45°

№3 Указательный 60°

№4 Большой 90°

n номер пальца

Значения синуса и косинуса угла по “ладони” приведено в таблице.

Примечание. Для определения косинуса угла отсчет пальцев происходит от большого пальца руки. [6]

 

Значения синуса

№ пальца Угол  
0 0
1 30°
2 45°
3 60°
4 90°

 

Значения косинуса

№ пальца Угол  
4
3 30°
2 45°
1 60°
0 90°

 

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела, позволяют измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. А также обнаружат применение тригонометрии в таких областях, как техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография, конструирование и моделирование. В результате мотивация к изучению тригонометрии должна повыситься.

 

 

Тригонометрические функции числового аргумента

1.Радианная мера угла

Угол в 1 радиан — это такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности (см рисунок ниже). Радианная и градусная меры угла связаны между собой отношением: 180о = π радиан, а угол nо равен π*n/180 радиан.
Радианная мера угла позволяет упростить некоторые формулы.

Например, для окружности радиуса r длина ее дуги l в α радиан вычисляется по формуле: l = α*r. Площать S сектора круга радиуса r, дуга которого содержит α радиан, равна: S=αr2/2. Эти и другие преимущества привели к тому, что в тригонометрии обычно пользуются только радианной мерой угла.

 

И наоборот,

Значит, можно написать следующие формулы перехода от градусного измерения к радианному:

и от радианного измерения к градусному:

 
Обозначение «рад» при записи часто опускают и вместо, например, 180° = π рад пишут просто 180° = π.
Угол, градусы 30° 45° 60° 90° 180° 270° 360°
Угол, радианы 0 π
Таблица перевода углов

Пример 1 . Определите радианную меру угла, если его градусная мера равна: 1) 2°; 2) 225°.

Решение

       Ответ:

2.Основные тригонометрические функции.

Синус, косинус, тангенс и котангенс часто называют основными тригонометрическими функциями. Иногда рассматривают еще две основные тригонометрические функции — секанс и косеканс (обозначаются sec и cosec соответственно).
Для того, чтобы понять, почему основных тригонометрический функций именно шесть, заметим, что тригонометрические функции острого угла α можно определить как отношения сторон прямоугольного треугольника с острым углом α.
Дадим определения тригонометрическим функциям синуса, косинуса, тангенса и котангенса. возьмем любой прямоугольный треугольник. Из курса геометрии мы знаем, что у него есть два катета и гипотенуза, причем угол между двумя катетами прямой — то есть равен 90o, или π/2 радиан.
Рассмотрим угол α, который образован одним из катетов и гипотенузой.
Синусом угла α называется отношение длин противолежащего катета к гипотенузе.
Косинусом угла α называется отношение длин прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенсом угла α называется отношение длин противолежащего катета к прилежащему.
Котангенсом угла α называется отношение длин прилежащего катета к противолежащему.

Таких отношений может быть всего шесть:
sin(α)=a/c      cos(α)=b/c       tg(α)=a/b      ctg(α)=b/a      sec(α)=c/b     cosec(α)=c/a

3.Таблица значений тригонометрических функций углов

В нижеприведенной таблице приведены значения тригонометрических функций различных углов, заданных в радианах. Напоминаем, что Π приблизительно равняется 3.14 радиан.

 

α 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/5 5π/6 π 7π/6 5π/4 4π/3 3π/2 5π/3 7π/4 11π/6
sin α 0 1/2; √2/2 √3/2 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 0
cos α 1 √3/2 √2/2 1/2 0 -1/2 -√2/2 -√3/2 -1 -√3/2 -√2/2 -1/2 0 1/2 √2/2 √3/2 1
tg α 0 1/√3 1 √3 -√3 -1 -1/√3 0 1/√3 1 √3 -√3 -1 -1/√3 0
ctg α √3 1 1/√3 0 -1/√3 -1 -√3 √3 1 1/√3 0 -1/√3 -1 -√3

 

4.Основные формулы тригонометрии и их свойства

Из определений тригонометрических функций сразу же следуют тригонометрические тождества:

Немного более сложным путем можно получить формулы сложения тригонометрических функций:

Из формул сложения очевидным образом можно получить формулы приведения тригонометрических функций:

Формулы приведения:    

 

 

Для запоминания формул приведения можно воспользоваться следующим правилом:
1. Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция в случае если 0 < α < π/2
2. Функция меняется на кофункцию, если n нечетно, и не меняется, если n — четно. Кофункциями для функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответсвенно являются косинус, синус, котангенс и тангенс.
Снова рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат. Как известно, координатные оси делят окружность на четыре дуги, которые называют четвертями

Окружность единичного радиуса с центром в начале координат называется тригонометрической окружностью

Так же при решении различных задач, связанных с тригонометрией, часто используются формулы суммы и разности синусов и косинусов:

Из них легко получить формулы двойного аргумента:

 

 

 

 

При помощи замены переменных легко получить формулы половинного угла:

IV Закрепление нового материала

Вопросы 

1.Что такое угол в 1 радиан?

2.Запишите формулы, связывающие радианную и градусную меры.

3.Какая из тригонометрических функций четная?

  1. Дайте определения синуса, косинуса?
  2. Дайте определения тангенса, котангенса?

6.Что вы понимаете под единичной окружностью?

 

Задачи

  1. Переведите в радианную меру угол:
  2. Переведите в градусную меру угол:
  3. Упростите выражение:
  4. Найдите область определения функции:
  5. Выразите в радианной мере величины углов:

 

 

  1. выразите в градусной мере величины углов:

 

 

7.Найдите числовое значение выражения:

 

 

Тесты

  1. Если угол , то точка будет находиться в следующей четверти:
  2. A) I
  3. B) II
  4. C) III
  5. D) IV
  6. Значение выражения равно:
  7. A) -7
  8. B) 7
  9. C)
  10. D)

3.Результатом упрощения выражения  является:

  1. A) 0
  2. B)
  3. C)
  4. D)

 

  1. Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которого равна радиусу окружности, называется углом в … радиан.

 

  1. Синусом угла называется … точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол .

 

  1. Градусная мера углов равностороннего треугольника равна … градусам.

 

  1. Отношение синуса угла к косинусу угла есть … угла .

 

  1. Установить соответствие формулы сложения тригонометрической функции:

 

  1. A)
  2. B)
  3. C)
  4. D)

 

9.Установить соответствие формулы суммы тригонометрических функций:

 

  1. A)
  2. B)
  3. C)
  4. D)
  5. Установить соответствие между выражениями и результатами:
  6. A) 1
  7. B) 0
  8. C)

D)

  1. Установить соответствие между выражениями и результатами:

 

  1. A) 1
  2. B)

C)

  1. D)
  2. Расположить в порядке возрастания следующие значения:

;;;

  1. A) ;;;
  2. B) ;;;
  3. C) ;;;
  4. D) ;;;
  5. Расположить в порядке убывания следующие значения:

;;;

  1. A) ;;;
  2. B) ;;;;
  3. C) ;;;;
  4. D) ;;;;

14.Найдите значение выражения: sin (11π/6)

A)√3/2

B)-√3/2

C)-1/2

D)1/2

15.Упростите выражение: ctg 2t(1 — cos 2t)

A)sin 2t

B)cos t

C)ctg t

D)cos 2t

 

Учащиеся обмениваются тетрадями и ставят друг другу оценки по данному ключу ответов

Ответы тестов

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B D D 1 ордината 60 tg D C A

 

11 12 13 14 15
D B C C D

Учащимся предлагается разгадать кроссворд

Кроссворд

 

 

Вопросы

по горизонтали:

  1. Единица измерения углов
  2. Как называется предел отношений приращения функции y к соответствующего приращению аргумента x?
  3. Кто в Европе закладывал основы геометрии, древнегреческий астроном и математик Аристарх …
  4. отношение радиуса r к ординате y точки M(x,y)
  5. Как называется график функции y=cosx
  6. Как называется уравнение, в котором неизвестная находится под знаком тригонометрической функции?
  7. Какой Великий математик пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задач о построении касательной к любой кривой заданной своим уравнением?
  8. Как называется a?
  9. Как называется сторона противоположная углу альфа?
  10. Как называется сторона, противолежащая прямому углу, самая длинная сторона в треугольнике. В данном случае, сторона c.
  11. F(x)
  12. Косинусом угла a ( то есть по оси OX ) называется
  13. Отношение синуса к косинусу
  14. отношение радиуса r к абсциссе x точки M(x,y)
  15. Тригонометрическая функция
  16. поверхность которая имеет геометрическое место точек ( т.е. множество всех точек ) в пространстве, равноудалённых от одной точки

по вертикали:

  1. Числовые функции, заданные формулами y=sinX называют ______?
  2. Раздел математики, изучающий тригонометрические функции
  3. Как называется операция отыскания производной некоторой функции?
  4. Max
  5. Как называется график функции y=sinx?
  6. Синусом угла a (то есть координата по оси OY) называется
  7. Какая из тригонометрических функций четная?
  8. Формулы, позволяющие упростить сложные выражения тригонометрической функции называются формулами _______ ?
  9. Какая математическая модель необходима для введения тригонометрических функций?

 

Ответ

А теперь ребята начнем свое путешествие по станциям

 

Станция «Окружность»

Учащиеся в ходе опроса работают по окружности

 

 

Какой  четверти принадлежит угол:

 

Определите четверть, если:

Найдитe   ошибки:

Определите  знак выражения:

Станция «Таблица»

Учащиеся в ходе опроса работают по таблице значений тригонометрических функций

Знание табличных значений:

 

Найдите значение выражения:

Вычислите

 

Станция «Формулы»

Учащиеся в ходе опроса работают по формулам тригонометрии

Четность функций

 

Перевести градусы в радианы, а радианы в градусы:

 

 

 

Тригонометрические формулы

 

Формулы тригонометрии

 

V Подведение итогов занятия

Проведем рефлексию «Дерево Яблони»

Сегодня на уроке я узнал (а)……………………

Сегодня на уроке я научился (лась)……………

Сегодня на уроке я вычислял (а)……………….

Сегодня на уроке я применял (а)……………….

-Комментируются оценки учащимся.

-Вопросы учащихся по пройденной теме.

 

VI Задание на дом

-Конспект изучить §5,стр 37.

-Решить задачи Упр А