Карагандинская область  п.Саяк  средняя школа №6

Дукенбаева Зауреш Хамитовна – учитель математики.

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение……………………………………………………………………………………….3

 

  1. Определения арифметической и геометрической прогрессий………………………………………………………………………4
  2. История прогрессий………………………………………………………..4
  3. Прогрессии в окружающей нас жизни…………………………. ……..5

3.1.  Прогрессии в природе……………………………………….5

3.2.  Прогрессии в банковских расчетах…………………………6

3.3.  Прогрессии в медицине……………………………………..7

3.4.  Прогрессии в спорте…………………………………………8

3.5.  О поселковых слухах………………………………………..8

3.6.  Прогрессии в литературе…………………………………..9

 

Вывод…………………………………………………………………………………………10

Список литературы…………………………………….……………………11

 

 

 

 

 

Введение

   Аннотация проекта: В работе дается ответ на вопрос: действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?  Для этого сделан исторический экскурс для установления авторства теории о прогрессиях. Приведены примеры применения прогрессий в различных отраслях хозяйства. Сделан анализ влияния размножения живых организмов в геометрической прогрессии на жизнь на Земле

   Актуальность исследования.      В 9 классе изучаем прогрессии: дали определение, научились находить по формулам любой член прогрессии, сумму первых членов прогрессии. Найдя ответы на вопросы: имеет ли это какое — либо практическое значение и как давно люди знают последовательности, как возникло это понятие, мы подтвердим или опровергнем утверждение о том, что математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд человека, что алгебра является  частью общечеловеческой культуры.

   Проблемный вопрос: Действительно ли прогрессии играют большую роль в повседневной жизни?

   Объект исследования: последовательности: арифметическая и геометрическая прогрессии.

   Предмет исследования: практическое применение этих прогрессий

   Гипотеза исследования: На уроках математики мы много раз слышали о том, что математика – наука очень древняя  и возникла она из практических нужд человека. Видимо, и прогрессии имеют определенное практическое значение.

    Цель исследования: установить картину возникновения понятия прогрессии и выявить примеры применения.

Задачи исследования :1.   Изучить наличие задач на прогрессии с практическим содержанием в различных учебных пособиях.

  1. Выяснить:

— когда и в связи с какими потребностями человека появилось понятие последовательности, в частности -прогрессии;

— какие ученые внесли большой вклад в развитие теоретических и практических знаний по изучаемой проблеме.

  1. Установить: имеют ли арифметическая и геометрическая прогрессии прикладное значение? Найти примеры применения прогрессий в нашей жизни.

    Методы исследования:

  1. Анализ школьных учебников математики.
  2. Анализ школьных учебников математики, математической, справочной литературы, литературы по истории математики, материала из Интернета.
  3. Обобщение найденных фактов в учебниках по биологии и по экологии и в медицинских справочниках.

 

  1. Определения арифметической и геометрической прогрессий

Арифмети́ческая прогре́ссия

числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определённое число.

Имеет вид:  a1, a1+d, a1+2d, a1+3d, …, a1+(n-1)d,…

   Геометри́ческая прогре́ссия — последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число.

Имеет вид:  b1, b1q, b1q2, b1q3,… ,b1qn-1,…

 

  1. История прогрессий

Первые теоретические сведения, связанные с прогрессиями, дошли до нас в документах Древней Греции.    В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессии и их суммы:

1+2+3+…+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1).    Некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям, были известны китайским и индийским ученым (V в.).

В клинописных табличках вавилонян, как и в египетских папирусах, относящихся ко второму тысячелетию до нашей эры, встречаются примеры арифметических и геометрических прогрессий.    В трудах  АРХИМЕДА (ок. 287-212 гг. до н.э.) излагаются первые сведения о прогрессиях.

Пифагор (IV в. до н. э.) и его ученики рассматривали последовательности, связанные с геометрическими фигурами.

Вопросами последовательности занимался  Леонардо Пизанский (Фибоначчи).  Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является «задача о размножении кроликов», которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …, именуемой впоследствии «рядом Фибоначчи».

  1. Прогрессии в окружающей нас жизни
    • Прогрессии в природе.

Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии. Примеры этих организмов:

 

ИНФУЗОРИИ    Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам.    Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения?

Ответ:  b15 = 2·214 = 32 768 (геометрическая прогрессия)

 

БАКТЕРИИ     Известно, что бактерии размножаются делением: одна бактерия делится на две; каждая из этих двух в свою очередь тоже делится на две, и получаются четыре бактерии; из этих четырех в результате деления получаются восемь бактерий и т. д.  (геометрическая прогрессия). Результат каждого удвоения будем называть поколением.

Интенсивность размножения бактерий используют…

  1. в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.),
  2. в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин),
  3. в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.),
  4. в коммунальном хозяйстве и природоохранных  мероприятиях  (для очистки сточных вод, ликвидации нефтяных пятен).

Еще примеры организмов, которые распространяются в геометрической прогрессий:

ТЛИ…….   Всего за пять поколений, то есть за 1 – 1,5 летних месяцев,

одна единственная тля может оставить более 300 млн.  потомков, а за год её потомство способно будет покрыть поверхность земного шара слоем

толщиной почти в 1 метр.

ВОРОБЬИ…… Потомство пары птиц величиной с воробья при продолжительности жизни в четыре года может покрыть весь земной шар за 35 лет.

 

  • Прогрессии в банковских расчетах.

Каждому в жизни приходится решать задачи, связанные с денежными вкладами.

Представьте себе, что вы открыли в банке вклад в сумме а р. Под р% годовых на t лет. У вас есть две стратегии поведения: либо в конце каждого года хранения вклада снимать проценты по вкладу,  либо прийти в банк один раз — в конце срока хранения вклада. Kaкой доход вы получите в том и другом случаях?

  • Прогрессии в медицине.

Больной принимает лекарство по следующей схеме: в первый день он принимает 5 капель, а в каждый следующий день — на 5 капель больше, чем в предыдущий. Приняв 40 капель, он 3 дня пьет по 40 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает прием на 5 капель, доведя его до 5 капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить больному, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

Найдя сумму п первых членов арифметической прогрессии, найдете, что вам надо купить 180 капель. Т.е. 2 пузырька лекарства.

Решение. Составим математическую модель задачи:

5, 10, 15,…,40, 40, 40, 35, 30,…,5

    ап1+d(n-1),     

   40=5+5(п-1),       

      п=8,                     

   Sп=((a1+aп)n)/2,   S8 =(5+40)·8:2=180,

  180 капель больной принимал по схеме в первый период и столько же по второй период. Всего он принял 180+40+180=400(капель), всего больной выпьет 400:250=1,6 (пузырька). Значит, надо купить 2 пузырька лекарства.

  • Прогрессии в спорте.

В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах — одно штрафное очко, за каждый последующий — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

Решение. Составим математическую модель задачи. Система штрафных очков составляет арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1, а разность – 0,5. Сумма первых n членов ( количество промахов) равно 7. Найдем число промахов — n.

Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день они проходи ли на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту в 5000 м?

Решение. Составим математическую модель задачи:    1400, 1300, …, 1400-100(n-1). a1=1400; d=-100, Sn=5000. Надо найти n.

Sn= (2a1+ d (n-1))n:2;

5000= (2·1400-100 · (n-1)) n:2;            Условию  задачи  удовлетворяет

10000= (2800-100 n+100) n;            n=4 ( при n=25 аn=-1000, но аn>0)

10000= (2900-100 n) n;                    Значит, альпинисты покорили

100 n2-2900 n+10000=0;                  высоту за 4 дня.

n2-29 n+100=0;  n=25, n=4.                  Ответ: за 4 дня.

 

  • О поселковых слухах:

Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого– нибудь  происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь посёлок: все о ней знают, все слышали. Итак, задача:

В поселке 16 000 жителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка?

Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:

в 9.00 новость узнают 40+27 ·3=121 (человек);

9.15                           121+81 ·3 =364 (человек);

9.30                           364+243 ·3=1093 (человек);

9.45                           1093+729 ·3=3280 (человек);

10.00                          3280 + 2187 ·3 =9841(человек).

Эту задачу можно решить по-другому, используя формулу суммы  n первых членов геометрической прогрессии.

  • Прогрессии в литературе.

Даже в литературе мы встречаемся с математическими понятиями! Так, вспомним строки из»Евгения Онегина».                          

Не мог он ямба от хорея,

Как мы не бились отличить…                                                 

         Ямб — это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8… Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Хорей — это стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7…пгн

Примеры:

Ямб:

«Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…»

Прогрессия: 2; 4; 6; 8…

Хорей:.

«Я пропАл, как звЕрь в загОне»                     Б. Л. Пастернак

Прогрессия: 1; 3 ;5; 7…

      «бУря  мглОю  нЕбо  крОет»

прогрессия 1; 3; 5;7.                        А.С. Пушкин.

 

 

 

Выводы:

  • Установила, что сами по себе прогрессии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл.
  • Убедилась в том, что задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, также как и многие другие знания по математике, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и другими.
  • Выяснила, что в развитие теории о прогрессиях внесли ученые Архимед, Пифагор и его ученики, французские математики Леонард Фибоначчи и Баше де Мезириака,  немецкие математики  М. Штифель, Н. Шюке, и        К. Гаусс.
  • Нашла много задач на арифметическую и геометрическую прогрессию в старых и в современных учебниках по математике. Заметила, что арифметическая прогрессия в практических задачах встречается чаще геометрической.
  • Обнаружила, что интенсивное размножение бактерий в геометрической прогрессии широко применяется в пищевой промышленности, в фармакологии, в медицине, в сельском и коммунальном хозяйствах, в банковских расчетах (начисление сложных процентов).

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников:

  1. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г.Мордкович. – 9-е изд., стер. – М.:Мнемозина, 2007. – 231 с.;
  2. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Книга для учащихся 7-9 классов средней школы -М.: Просвещение, 1990.-224сю;
  3. Энциклопедический словарь юного математика /Сост. А.П.Савин.- М.: Педагогика, 1989.-352с..
  4. http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm
  5. http://students.tspu.ru/students/legostaeva/index.php?page=op
  6. http://festival.1september.ru/articles/568100/